El estudio de las superficies cuádricas es bastante antiguo; por ejemplo, Tabit Ibn Qurra (Arabia, 826-901) determinó el volumen de un sector del paraboloide. Ya conocemos que desde el tiempo de los griegos se estudiaban las esferas, los conos y los cilindros, aunque no emplearon ecuaciones.
En una carta de 1643 Fermat asumió las ideas de Descartes y las extendió a tres dimensiones. Aquí menciona superficies cuádricas tales como elipsoides y paraboloides, que están determinadas por ecuaciones cuádricas en las tres variables x, y & z (Stewart, 2008).
Descartes y Fermat habían sugerido el Principio Fundamental de la Geometría Analítica de tres dimensiones, acerca de que toda ecuación con tres incógnitas representa una superficie. Descartes lo hace al final del Libro II de La Geometría en un epígrafe titulado: “Cómo puede aplicarse lo que se ha dicho aquí de las líneas curvas trazadas sobre una superficie plana, con las que se tracen en un espacio que tiene tres dimensiones”; y Fermat en una pequeña memoria titulada Novus Secundarum et Ulterioris Ordinis Radicum in Analyticis Usus: “…pero si el problema propuesto implica tres cantidades incógnitas, se trata de encontrar para satisfacer la cuestión, no solamente un punto o una línea, sino una superficie entera; de ahí resultan los lugares en superficie”.
También trataron el tema, poco después, Van Schooten en el escrito Exercitationes Geometricae y La Hire, en su obra Nouveaux éléments des sections coniques.
Pero el desarrollo efectivo de la Geometría Analítica tridimensional comienza propiamente con Euler. En efecto, la Introductio de Euler acaba con un largo y sistemático apéndice sobre Geometría tridimensional, que a pesar del título: “Tratado abreviado de superficies cuádricas” ocupa 75 páginas, en 152 artículos, donde estudia de forma analítica las superficies cuádricas por medio de ecuaciones en coordenadas, y que representa la más original contribución de Euler a la Geometría cartesiana y la más relevante exposición sobre Geometría Analítica sólida.
Como en la Geometría Analítica plana, Euler sigue utilizando un solo eje de coordenadas como básico, pero señala que se pueden utilizar tres planos coordenados. Además, alude a los posibles signos de las coordenadas en los ocho octantes del triedro de referencia.
Euler escribe de forma general la ecuación del plano y estudia las intersecciones con los planos de coordenadas y con el único eje, así como los ángulos entre el plano dado y los de coordenadas, que los expresa mediante el coseno.
Divide las superficies cuádricas en algebraicas y trascendentes y las estudia a través de las trazas según varios planos. Aparecen conos, esferas, cilindros y conoides. Euler proporciona la primera fórmula para traslación y rotación de ejes en tres dimensiones, que se ha convertido en la clásica transformación que lleva su nombre.
Euler introduce las superficies cuádricas como una familia unitaria a través de la ecuación cuadrática general en diez términos; considera la ecuación del cono asintótico real o imaginario determinada por los términos de mayor grado de la ecuación e indica que la ecuación general puede reducirse mediante transformaciones a las formas canónicas, de donde deriva la clasificación general de las superficies cuádricas. Euler incluye cinco tipos fundamentales de cuádricas canónicas: el elipsoide, el hiperboloide de una hoja, el hiperboloide de dos hojas, el paraboloide hiperbólico (descubierto por él) y el paraboloide elíptico.
El trabajo de Euler sobre superficies cuádricas, que se ha convertido en una parte esencial de los cursos de Geometría Analítica académica, representa el primer intento de unificación del estudio de la ecuación cuadrática general en tres dimensiones; de forma similar a como una centuria antes el trabajo de Fermat y Descartes representó lo mismo para el estudio de la ecuación cuadrática general en dos dimensiones.
Como rasgo curioso, reiteremos la poca dedicación de Euler a los aspectos más elementales de la Geometría Analítica, los referentes a rectas y planos, en contraposición a los importantes y difíciles problemas que trata sobre secciones cónicas y superficies cuádricas. La razón hay que buscarla en que para Euler las ecuaciones de la recta: , y del plano: en realidad son relaciones funcionales en las variables x, y & z y por tanto, son objetos de interés del Análisis –en sentido de cálculo Infinitesimal– más que contrapartidas algebraicas de puntos, rectas y planos. Así se explica que aspectos elementales de la Geometría Analítica académica como fórmulas sobre punto medio, paralelismo, ángulos, perpendicularidad, pendiente, distancias, áreas, volúmenes, etc., sean objeto de estudio posterior a Euler en la Historia de la Geometría Analítica, y curiosamente cuando la siguiente generación de matemáticos traten estas cuestiones, lo harán primero en la Geometría Analítica de tres dimensiones, adaptando después los resultados a la Geometría Analítica plana (González, 2008).
